Die Erde als Kugel

 

Kugel Koordinaten-Systeme

Frage: Wie könnte man einen Punkt auf
einer Kugel eindeutig lokalisieren? Wir nähern die Erde als Kugel an
mit dem Radius r ≈ 6371 km.

1) Geografische Position φ,λ

Wir sind es gewohnt, eine Stadt über die

  • geografische Breite φ 90°N ... 90°S
  • geografische Länge λ 000° ... 180°E oder W

auf der Erde eindeutig zu lokalisieren.


2) Kugelkoordinaten r,φ,θ

In der Mathematik verwendet man statt der geografischen Position sogen. Kugelkoordinaten. Der horizontale Winkel φ=λ ist identisch, der vertikale Winkel hingegen muss umgerechnet werden:

θ = 90° − φ

Da in der Mathematik die Größe der Kugel beliebig ist, kommt als 3. Koordinate noch der Radius r hinzu. Für die Umrechnung zu den kartesischen Koordinaten gilt:

x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ

3) Kartesische Koordinaten x,y,z

Im Schulfach Mathematik lernten wir Diagramme mit rechtwinkligen x- und y-Achsen kennen. Im 3-dimensionalen Raum kommt die z-Koordinate noch hinzu.


Erde Kugeloberfläche

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Grafik: Orthodrome.png

Hintergrund

Gitter Breiten- und Längengrade

Vektor R = (, , )

Grafik

Schieberegler Sichtbarkeiten


1) Geografische Position φ,λ

2) Kugelkoordinaten r,φ,θ

Mathematik: Rotationsymmetrie
r = 6371 km Radius
φ = azimutaler Winkel
θ = vertikaler Winkel
φ=0°
θ=0°

3) Kartesische Koordinaten x,y,z

Mathematik: rechtwinklig
x =
x=0 km
x=r
y =
y=0 km
y=r
z =
z=0 km
z=r

Achtsamkeit:
Vergrößere den x-Wert, bis der y-Wert Null ist. Bei weiterer Vergrößerung des x-Wertes nimmt zwangsläufig der z-Wert ab.

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kugel/index.html

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