Reihenentwicklungen

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Taylor-Reihe

 

Erläuterungen

Analysis

Eine um einen Punkt herum glatte Funktion kann durch eine Potenzreihe dargestellt werden:

T(x) =   Σ  f(n)(a) · (x-a)n / n!
n=0

Dabei ist f(n) die n-te Ableitung der Funktion f(x), und n! die Fakultät von n,
z. B.:   4! = 1·2·3·4 = 24

Einheiten

In der Physik werden obige Funktionen in Formeln verwandt. Dabei ist zu beachten, dass das Argument immer OHNE Einheiten ist, denn solch ein Ergebnis macht keinen Sinn:

Länge L  =  1 + 2 m + 4 m2 + 3 m3 + ...

Einheiten sind z. B. Meter (m), Sekunde (s), Kilogramm (kg) und Newton (N). Winkel (Grad oder Bogenmaß) sind in diesem Sinne keine Einheiten.

Euler-Relation

Ist Dir aufgefallen, dass sin(x) und cos(x) eine ähnliche Taylor-Reihe haben wie die Exponential-Funktion exp(x)?

In der komplexen Zahlenebene (i²=−1) gilt die Euler-Relation:

e i·φ  =  cos(φ) + i·sin(φ)

Dabei bezeichnet φ den Drehwinkel zwischen dem Real- und Imaginärteil.

 
 

www.harald-blazy.de/mathe/
taylorreihen.html

 
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