Platonische Körper

 

Inhaltsverzeichnis

 

Tischlerei der Polyeder

Mit Schiebereglern hobeln wir Ecken ab, drehen und verkleinern einzelne Flächen, lassen Körper ineinander durchdringen oder erzeugen auf deren Flächen neue Strukturen: und alles ist drehbar!


Platonische

Körper (PK)

Archimedische

Körper (AK)

=> Catalanische Körper (CK)


Manipulationen

1) Umwandlung vom PK zum AK
Abstumpfen:
%
Schrumpfen:
%
Drehen:
%
2) PK durchdringt seinen Dualen
Durchdringen:
%
3) Sternkörper
Extrudieren:
%
Intrudieren:
%

Nicht alle sind erforderlich (verbergen).

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Grafik:

CK

(Äußerer Körper)

PK / AK

(Mittlerer Körper)

Dualer

(Innerer)
Flächen:
Kanten:
Ecken:
2,0 px

Kantendicke
2,0 px

Kanten hinten
2,0 px

Kantendicke
2,0 px

Kanten hinten
2,0 px

Kantendicke
2,0 px

Kanten hinten

Numeriere CK:

Numeriere PK:

Numeriere DPK:

Lampe (+ CK Alpha)

Helligkeit: %
Kontraste: %
Drehe hor: °
Drehe ver: °
Frontal
CK Alpha:

Positionierung

Horizontal: °
Vertikal: °
Zoom: %
x+Δx: px
y+Δy: px
Zentrieren

Grundeinstellungen

Ecken: Radius aller Kreise
Zeitintervall:
Drehwinkel:

Kurzanleitungen


PKPlatonische Körper
Es gibt nur fünf Vielflächner (Polyeder), die eine größtmögliche Symmetrie aufweisen. Verbindet man die Flächenmitten, so erhält man den dualen Körper. Dieser ist wiederum ein Platonischer Körper. Das Tetraeder ist dabei selbstdual, denn es hat genauso viele Ecken wie Flächen.

AKArchimedische Körper
Durch Abstumpfung der Ecken der Platonischen Körper erhält man sogenannte Archimedische Körper. Diese weisen eine geringere Symmetrie auf. Der Fußball ist der bekannteste Archimedische Körper. Fachbezeichnung: Ikosaederstumpf

CKCatalanische Körper
Die Archimedischen Körper besitzen eine umhüllende Kugel. An die Ecken legt man Tangentialflächen an. Über deren Schnittgeraden werden die Catalanischen Körper erzeugt. Diese sind zu den Archimedischen dual. Diese Dualität ist hier folglich NICHT so definiert, dass die Ecken des AK genau in der Mitte der Flächen des CK liegen. − Alle Seitenflächen eines CK sind kongruent zueinander. Ferner sind sie unter dem gleichen Winkel zueinander geneigt.

Zusatz

EKEinbeschriebene Körper
Sind die obigen konsekutiven Gedankenschritte verstanden? Wenn ja, dann gibt es hier noch weitere Konstellationen, wie den Polyedern andere einbettet werden können.

DDDurchdringungen
Bisher betrachteten wir Körper in Körpern. Jedoch kann man den inneren Körper auch "aufpumpen" und somit zwei durchdrungene Körper erhalten.

SKSternkörper
Die durchdrungenen Körper führen uns zu den Sternkörpern. BSP: Die vier Kepler-Poinsot-Körper. Sie sind nicht-konvex.

GSGoldener Schnitt
Die 12 Ecken des Ikosaeders umfassen drei Goldene Rechtecke, die sich wiederum im Goldenen Schnitt teilen.

Beispiel: Oktaeder

Oktaeder

Platonischer Körper


Oktaeder

Der dualer Körper ist ein Hexaeder

Oktaederstumpf

Archimedischer Körper


Oktaederstumpf

Kanten des Catalanischen Körpers

Triakishexaeder

Catalanischer Körper


Alle drei Körper

Triakishexaeder, Oktaederstumpf und Hexaeder

Beispiel: Dodekaeder

Dodekaeder

Platonischer Körper


Dodekaeder mit Dualem

Der duale Körper innen (!) ist ein Ikosaeder

Ikosidodekaeder

1. Archimedischer Körper - ganz abgestumpft


Ikosidodekaeder mit Dualem

1. Archimedischer Körper - ganz abgestumpft


Rhombentriakontaeder

1. Catalanischer Körper

Ikosidodekaederstumpf

2. Archimedischer Körper - zzgl. geschrumpft


Ikosidodekaederstumpf mit Dualem

2. Archimedischer Körper - zzgl. geschrumpft


Hexakisikosaeder

2. Catalanischer Körper

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