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Wir betrachten 3-dimensionale Körper, die von glatten und ebenen Flächen begrenzt sind. Die Flächen eines Körpers sind dabei alle identisch. Sie sind also alle gleich groß und haben dieselbe Form. Von diesen hochsymmetrischen Körpern gibt es nur 5 Stück. Man nennt sie die Platonischen Körper.

Manipuliert man die Platonischen Körper, erhält man die sogen. Archimedischen Körper. Schleift man beispielsweise vom Hexaeder die Kanten ab, erhält man den Hexaederstumpf. Er besteht sowohl aus Dreiecken wie auch aus Achtecken.

Legt man an die Ecken eines Archimedischen Körpers Tangentialflächen an, so erhält man einen Catalanischen Körper. Somit sind beide dual zueinander. Die Seitenflächen sind von einer Art. Die Vielecke sind kongruent zueinander, aber sie sind nicht regelmäßig.

Bsp: Dodekaeder

Größtmöglichste Symmetrie

Pentagone als einzige Begrenzungsflächen:
Gleiche Größe, gleiche Seitenlängen und gleiche Innenwinkel.

Bsp: Ikosidodekaederstumpf

Weniger Symmetrieeigenschaften

Quadrate, Sechsecke und Zehnecke als Begrenzungsflächen. Aber immerhin sind diese kongruente und regelmäßige Vielecke (Polygone).

Bsp: Deltoidalhexakontaeder

Polygone mit weniger Symmetrieeigenschaften

Drachenvierecke (Deltoide) als Begrenzungsflächen: Die Kantenlängen und die Innenwinkel der Deltoide sind verschieden. Ein markanter Symmetrieverlust.

Reguläre Körper
sind Vielflächner (Polyeder) mit einer größtmöglicher Symmetrie, d. h. alle Flächen sind

• ebene,
• kongruente und
• regelmäßige Vielecke (Polygone).

Kongruenz von Flächen
Deckungsgleichheit:

• gleiche Form (Ähnlichkeit)
• gleiche Größe

Regelmäßiges Polygon

• Alle Seiten sind gleich lang.
• Alle Innenwinkel sind gleich groß.

Einbeschriebener Körper
Ein Körper ist einbeschrieben, wenn all seine Ecken auf den Seitenflächen eines anderen liegen.

	Geb/Gest	Ort
Platon	* 427 v. Chr. † 348 v. Chr.	Athen Athen
Archimedes	* 287 v. Chr. † 212 v. Chr.	Syrakus Syrakus
Johannes Kepler	* 27.12.1571 † 15.11.1630	Weil der Stadt Regensburg
Leonhard Euler	* 15.04.1707 † 07.09.1783	Basel St. Petersburg
Louis Poinsot	* 03.01.1777 † 05.12.1859	Paris Paris
Eugène Catalan	* 30.05.1814 † 14.02.1894	Brügge Lüttich

Wort	Zahl	Beispiel
triakis	3	tría = 3, akis = Stachel → Triakistetraeder → Triakisoktaeder → Triakisikosaeder 3-seitige Pyramiden auf den Dreiecken
tetrakis	4x	Tetrakishexaeder (Pyramidenwürfel) 4-seitige Pyramiden auf den Vierecken
pentakis	5x	Pentakisdodekaeder 5 Dreiecke über einem Pentagon
hexakis	6x	Hexakisoktaeder Hexakisikosaeder 6 Dreiecke über jedem Dreieck
dódeka	12	Dodekaeder = 12-Flächner
íkosi	20	Ikosidodekaeder 20 Dreiecke (und 12 Fünfecke)

Der Name dieser Vielflächner (Polyeder, poly = viel) verrät die Anzahl seiner Flächen (#F). So hat das Tetraeder z. B. vier Flächen (tetra = vier), während das Hexaeder als Würfel sechs Flächen aufweist (hexa = sechs).

Verbindet man die Flächenmitten, so erhält man den dualen Körper. Der duale Körper hat folglich genauso viele Ecken wie der Platonische Körper an Flächen hat. Der duale Körper ist wieder ein Platonischer Körper.

Platonische Körper					Duale Körper
	Polyeder	#F	#K	#E
1	Tetraeder	4	6	4	Tetraeder
2 3	Hexaeder Oktaeder	6 8	12 12	8 6	Oktaeder Hexaeder
4 5	Dodekaeder Ikosaeder	12 20	30 30	20 12	Ikosaeder Dodekaeder

Das Tetraeder ist selbstdual.
Es hat genauso viele Flächen wie Ecken.

Bei aller Vielseitigkeit und Komplexität bzgl. der Polyeder gibt es eine konstante Größe:

Die Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken stehen bei allen Polyedern in einem Zusammenhang:

#Flächen − #Kanten + #Ecken = 2

Es stellt sich dabei jedoch eine Frage:

Was passiert mit obigem Polyedersatz, wenn man in den Polyeder ein Loch stanzt? Die Lösung ist der verallgemeinerte Polyedersatz.

Je 2 Ecken des einbeschriebenen Hexaeders liegen auf einer Seitenfläche des Tetraeders.

Je 3 Ecken des einbeschriebenen Ikosaeders liegen auf einer Seitenfläche des Tetraeders.

Je 2 Ecken des einbeschriebenen Ikosaeders liegen auf einer Seitenfläche des Hexaeders.

Je 1 Ecke des einbeschriebenen Ikosaeders liegt auf einer Kante des Oktaeders.

Das

• abgeschrägte Hexaeder und das
• abgeschrägte Dodekaeder

haben einen Drehsinn. Sie können links- oder rechtshändisch sein. Beide Drehsinne sind zueinander gespiegelt. Daher wird manchmal auch angegeben, dass es 15 statt 13 Archimedische Körper gibt.

Polyeder mit einem Drehsinn nennt man chiral.

Die Archimedischen Körper besitzen verschiedene kongruente Seitenflächen. Daher liegt keine höchste Symmetrie mehr vor. Und beim Catalanischen Körper besitzen die Seitenflächen noch weniger Symmetrieeigenschaften.

Konstruktionsbedingt gilt Folgendes:
Ein Platonischer Körper hat genauso viele Flächen wie sein innerer dualer Körper an Ecken hat. Und ein Catalanischer Körper hat genauso viele Ecken wie der Archimedische Körper an Flächen hat. Beide sind ebenso zueinander dual.

Ein gewöhnliches Kletternetz im Park oder auf einem Schulhof besitzt im Zentrum häufig ein abgestumpftes Oktaeder. Das war eines der Entdeckungen.

Nun wissen wir, dass dieser "Nukleus" ein Archimedischer Körper ist. Der Oktaeder selber ist einer der fünf Platonischen Körper.

Der Schulhof als Bildungslandschaft!

Geometrie zum Anfassen.

Wie bitte? Das Drehen der verschiedenen Polyeder ist eine Augenweide? Durch die verschiedenen Perspektiven kann man deren Konstruktion besser verstehen?

Wie bitte? Mathematik ist ein total überflüssiges Fach in der Schule, weil man das sowieso im Leben nie braucht? Wirklich alles Quatsch?

Ein Vektor beschreibt mit seinen drei Komponenten einen Ort im Raum. Im Vergleich zu Zahlen gibt es jedoch zwei verschiedene Möglichkeiten, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl, während das Kreuzprodukt wieder einen Vektor ergibt.

Beide Rechenarten kamen bei der Programmierung der Platonischen Körper zur Anwendung.

Zu jeder Fläche der Polyeder wird ein Normalvektor berechnet. Dabei werden die Vektoren als Subtraktionen der Ecken erzeugt. Beim Kreuzprodukt ist es wichtig, dass der Orientierungssinn bei allen Flächen einheitlich bewahrt bleibt.

Zeigt der Normalvektor aus dem Bildschirm heraus, weiß man, dass man die Fläche zum Betrachter geneigt ist. Andernfalls wird die Fläche nicht gezeichnet, bzw. bei Transparenz werden die hinteren Kanten gezeichnet, mit der entsprechenden Farbe und Dicke.

Die Drehmatrizen wurden bei den Segelapps schon mehrfach vorgestellt.

Anzumerken ist vielleicht auch hier der Unterschied zu den Zahlen. Matrizen sind bzgl. der Multiplikation nicht vertauschbar, d. h. sie sind nicht kommutativ:

A·B ≠ B·A

Dies bedeutet, dass man den Polyeder erst horizontal drehen muss, bevor man ihn zum Betrachter kippt, damit man ihm auf sein Haupt gucken kann. Ansonsten gibt es "Kabelsalat".