Die Kurvenscharen u(x,y) = konst und v(x,y) = konst einer holomorphen Funktion
f(z) = u(x,y) + i·v(x,y)
sind orthogonal zueinander. Oder anders ausgedrückt: Ist f eine komplex differenzierbare Funktion, schneiden sich Real- und Imaginärteil senkrecht.
| Grafik: |
cr.png
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Hintergrund | |
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Eine komplexe Zahl z besteht aus einem Realteil x und einem Imaginärteil y:
z = x + i·y
Neben der kartesischen Darstellung ist die Polardarstellung
z = r·ei·φ
mit dem Radius r und dem Winkel φ von Bedeutung. Hierbei kommt die Euler-Relation zur Anwendung:
ei·φ = cos(φ) + i·sin(φ)
Eine komplexe Funktion f(z) besteht aus einem Realteil u(x,y) und einem Imaginärteil v(x,y):
f(z) = u(x,y) + i·v(x,y)
Betrachtet man die Differentialquotienten für Real- und Imaginärteil bzgl. einer komplexen Funktion, so erhält man folgende Differenzialgleichungen:
ux = vy
uy = −vx
Die Indizes x und y stehen für die entsprechenden partiellen Ableitungen der Funktionen u(x,y) und v(x,y). Eine Funktion ist komplex differenzierbar, wenn obige Cauchy-Riemannsche DGLn gelten.
Das Feld F = (u,−v) ist quellenfrei:
div F = 0
Das Feld F ist wirbelfrei: (−vx−uy)3 = 0
rot F = 0
Die Kurvenscharen u(x,y)=c und v(x,y)=c von komplex differenzierbaren Funktionen schneiden sich senkrecht:
| (∇u,∇v) | = uxvx + uyvy |
| = uxuy + uy(−ux) | |
| = 0 |
Die Kurvenscharen vom Real- und Imaginärteil werden auch als Orthogonaltrajektorien bezeichnet. Der Begriff "orthogonal" bedeutet "senkrecht" und beinhaltet einen Schnittwinkel von 90°.
Real- und Imaginärteil von komplex differenzierbaren Funktionen sind harmonisch, d.h. sie erfüllen der Laplace-Gleichung:
| Δu(x,y) | = (ux)x + (uy)y |
| = (vy)x − (vx)y | |
| = vyx − vxy | |
| = 0 |
Gleiches gilt für v(x,y).
Legende Buchstaben, Symbole
| Erläuterungen | |
|---|---|
| z = x + i·y |
komplexe Zahl z∈ℂ mit
1) x = Realteil von z 2) y = Imaginärteil von z ℂ≅ℝ×ℝ = komplexe Zahlenebene i = komplexe Einheit mit i²=−1 |
| ei·φ = cos(φ) + i·sin(φ) |
Euler-Relationmit Winkel φ
1) ei·π = −1 2) ii = (ei·π/2)i = e−π/2 ≈ 0,208
Drehsinn im Zeigerdiagramm: links herum
entgegengesetzt des Uhrzeigersinns |
| f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) |
komplexe Funktion
f : ℝ×ℝ → ℂ
1) u(x,y) = Realteil von f(z) 2) v(x,y) = Imaginärteil von f(z) |
|
ux, vx und uy, vy
uxy, vyx Δu ≡ uxx + uyy = 0 |
partielle Ableitungen nach x bzw. y
partielle Ableitungen 2. Ordnung Laplace-Gleichung
u, v = harmonische Funktionen
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ux = vy vx = −vy |
Cauchy-Riemannsche
Differenzialgleichungen (DGLn):
Wenn die CR-DGLn gelten, dann ist f(z)
komplex differenzierbar (holomorph). Die Kurvenscharen u(x,y)=konst und v(x,y)=konst schneiden sich dann senkrecht. u und v sind orthogonal zueinander. |
Beweise Cauchy-Riemannsche DGLn
| Funktionen f(x,y) = u(x,y) + i·v(x,y) |
Realteil u(x,y) Imaginärteil v(x,y) |
Cauchy-Riemannsche DGLn | ||
|---|---|---|---|---|
| ux = vy | uy = −vx | |||
| f1(z) |
= z = x + i·y |
u = x
v = y
|
ux = 1 vy = 1 |
uy = 0 vx = 0 |
| f2(z) |
= z² = (x + i·y)² = x²−y² + i·2xy |
u = x²−y²
v = 2xy
|
ux = 2x vy = 2x |
uy = −2y vx = +2y |
| f3(z) |
= z³ = (x + i·y)³ = x³−3xy² + i·(3x²y−y³) Affen-Sattel
|
u = x³−3xy²
v = 3x²y−y³
|
ux = 3x²−3y² vy = 3x²−3y² |
uy = −6xy vx = +6xy |
| f4(z) |
= 1/z = z*/(z·z*) = (x−i·y)/(x²+y²) |
u = x/(x²+y²)
v = −y/(x²+y²)
|
ux = (y²−x²)/(x²+y²)² vy = (y²−x²)/(x²+y²)² |
uy = −2xy/(x²+y²)² vx = +2xy/(x²+y²)² |
| f5(z) |
= ½(z+1/z) z=r·eiφ = ½(r+1/r)cosφ + i½(r−1/r)sinφ Joukowski-Abbildung
|
u = x+x/(x²+y²)
v = y−y/(x²+y²)
mit ½ multiplizieren
|
ux = 1+(y²−x²)/(x²+y²)² vy = 1+(y²−x²)/(x²+y²)² |
uy = −2xy/(x²+y²)² vx = +2xy/(x²+y²)² |
| f6(z) |
= √z z=r·eiφ = √r·cos(φ/2) + i√r·sin(φ/2) | |||
| f7(z) | = ln(|z|) + i·arg(z) |
u = ln(√[x²+y²])
v = atan(y/x)
|
ux = x/(x²+y²) vy = x/(x²+y²) |
uy = +y/(x²+y²) vx = −y/(x²+y²) |
| f8(z) |
= cos(z) z=x+iy = cos(x)cos(iy) − sin(x)sin(iy) = cos(x)cosh(y) − i·sin(x)sinh(y) |
u = cos(x)cosh(y)
v = −sin(x)sinh(y)
|
ux = −sin(x)cosh(y) vy = −sin(x)cosh(y) |
uy = +cos(x)sinh(y) vx = −cos(x)sinh(y) |
| f9(z) |
= cosh(z) z=x+iy = cosh(x)cosh(iy)+sinh(x)sinh(iy) = cosh(x)cos(y) + i·sinh(x)sin(y) 90°-Drehung: (x,y) => (−y,x) |
u = cosh(x)cos(y)
v = sinh(x)sin(y)
|
ux = sinh(x)cos(y) vy = sinh(x)cos(y) |
uy = +cos(x)sinh(y) vx = −cos(x)sinh(y) |
| f10(z) |
= ez = ex · ei·y = cos(y)ex + i·sin(y)ex |
u = cos(y) ex
v = sin(y) ex
|
ux = cos(y) ex vy = cos(y) ex |
uy = −sin(y) ex vx = +sin(y) ex |
| f11(z) |
= z²+i·z z=x+iy = (x²−y²+i·2xy) + (i·x−y) = x²−y²−y + i·(2xy+x) |
u = x²−y²−y
v = 2xy+x
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ux = 2x vy = 2x |
uy = −2y−1 vx = +2y+1 |
| Funktionen | Re, Im | ux = vy | uy = −vx | |
Anmerkungen
Orthogonale Kurvenscharen
Die Kurvenscharen von Real- und Imaginärteil von komplex differenzierbaren Funktionen schneiden sich senkrecht. Dies ist das Ergebnis der Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen.
Orthogonale Kurvenscharen
Die Kurvenscharen von Real- und Imaginärteil von komplex differenzierbaren Funktionen schneiden sich senkrecht. Dies ist das Ergebnis der Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen.
Viele Regeln der Differentialrechnung
Als Beispiel wird der Logarithmus durchgerechnet. Dabei kommen viele Regeln der Differentialrechnung zur Geltung. Eine wirklich gute Wiederholung, zumal auch der atan differenziert werden muss.
1) Joukowski-Abbildung
Ellipsen und Hyperbeln
Die Joukowski-Abbildung transformiert Kreise und Ursprungsgeraden zu Ellipsen und Hyperbeln.
Halbachsen und Brennpunkte
Die lineare Exzentrizität e einer Ellipse entspricht dem Abstand eines Brennpunktes zum Ursprung.
2) Hyperbolische Funktionen
Hyperbolische Funktionen
Die Formeln für Sinus und Cosinus sind am bekanntesten. Die hyperbolische Funktionen sinh und cosh haben ähnliche Eigenschaften. Beim Vergleich muss man auf das Vorzeichen achten.
Herleitung
Um die Ästhetik der Euler-Relation hervorzuheben, füge ich hier nochmals die Herleitung der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus hinzu.
www.harald-blazy.de/
mathe/cauchy-riemann.html
