Cauchy-Riemann | Harald Blazy

Komplexe Funktionen

Die Kurvenscharen u(x,y)=c und v(x,y)=c von komplex differenzierbaren Funktionen f(z) = u+i·v schneiden sich senkrecht:

f(z) = z f(z) = z² f(z) = 1/z f(z) = e^z f(z) = ln(|z|) + i·arg(z)

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Realteil f(z):	u(x,y)=c
Imaginärteil:	v(x,y)=c

Komplexe Zahlenebene ℂ

Eine komplexe Zahl z besteht aus einem Realteil x und einem Imaginärteil y:

z = x + i·y

Äquivalent dazu ist die Euler-Relation:

e^i·φ = cos(φ) + i·sin(φ)

Eine komplexe Funktion f(z) besteht aus einem Realteil u(x,y) und einem Imaginärteil v(x,y):

f(z) = u(x,y) + i·v(x,y)

Cauchy-Riemannsche DGLn

Betrachtet man die Differentialquotienten für Real- und Imaginärteil bzgl. einer komplexen Funktion, so erhält man folgende Differenzialgleichungen:

u_x = v_y
u_y = −v_x

Die Indizes x und y stehen für die entsprechenden partiellen Ableitungen der Funktionen u(x,y) und v(x,y). Eine Funktion ist komplex differenzierbar, wenn obige Cauchy-Riemannsche DGLn gelten.

Harmonische Funktionen

Real- und Imaginärteil von komplex differenzierbaren Funktionen sind harmonisch, d.h. sie erfüllen der Laplace-Gleichung:

Δu(x,y)	= (u_x)_x + (u_y)_y
	= (v_y)_x − (v_x)_y
	= v_yx − v_xy
	= 0

Gleiches gilt für v(x,y).

Senkrechte Kurvenscharen

Die Kurvenscharen u(x,y)=c und v(x,y)=c von komplex differenzierbaren Funktionen schneiden sich senkrecht:

(∇u,∇v)	= u_xv_x + u_yv_y
	= u_xu_y − u_yu_x
	= 0

	Funktionen	Re, Im	u_x = v_y	u_y = −v_x
f(z)	= z = x + i·y	u = x v = y	u_x = 1 v_y = 1	u_y = 0 v_x = 0
f(z)	= z² = (x + i·y)² = x²−y² + i·2xy	u = x²−y² v = 2xy	u_x = 2x v_y = 2x	u_y = −2y v_x = 2y
f(z)	= 1/z = z^/(z·z^) = (x−i·y)/(x²+y²)	u = x/(x²+y²) v = −y/(x²+y²)	u_x = (y²−x²)/(x²+y²)² v_y = (y²−x²)/(x²+y²)²	u_y = −2xy/(x²+y²)² v_x = 2xy/(x²+y²)²
f(z)	= e^z = e^x · e^i·y = cos(y)e^x + i·sin(y)e^x	u = cos(y) e^x v = sin(y) e^x	u_x = cos(y) e^x v_y = cos(y) e^x	u_y = −sin(y) e^x v_x = sin(y) e^x
f(z)	ln(\|z\|) + i·arg(z)	u = ln(√[x²+y²]) v = atan(y/x)	u_x = v_y =	u_y = v_x =

Komplexe Zahlenebene

Orthogonale Kurvenscharen

Die Kurvenscharen von Real- und Imaginärteil von komplex differenzierbaren Funktionen schneiden sich senkrecht. Dies ist das Ergebnis der Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen.

Kurvenscharen