Für jeden Liebhaber der Wetterkunde:
Betrachte folgende Konstellation
aus 2 Tief- und 2 Hochdruckgebieten:
Um was für einen Punkt handelt es sich im Zentrum? Wie sieht überhaupt die Luftdruckverteilung aus? Die Lösung kommt in der folgenden Grafik zum Vorschein, wenn Du mit dem Schieberegler die Amplitude der Druckdifferenz erhöhst.
Weitere Flächen im ℝ³:
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| Grafik: |
Sattelpunkt.png
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Hintergrund | |
| Optionen für THHT | |
| Lemniskate:Parameter a | ||||
| Skala: | ||||
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Zeigen
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Achsen
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Koordinaten
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Nullpunkt
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Größe
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| Druck: | ||||
| x,y: | ||||
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| dy: | ||||
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Bildwiederholung
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Drehwinkel
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| Kippen: | ||||
| Drehen: | ||||
| Quader | Kachel | |
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ggfs. eine Kachel breiter |
Anzahl der Kachel pro Achse ist immer gerade. |
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Eine Fläche im 3-dimensionalen Raum wird durch eine Funktion z(x,y) definiert. Die Hesse-Matrix Hess z(x,y) ist die Kurvendiskussion für Flächen. Ihre Differential-Operatoren wirken auf die Funktion z(x,y). Bei positiven/negativen Eigenwerten liegt ein Minimum/Maximum vor. Ist sie jedoch indefinit, handelt es sich um eine Sattelfläche, wie hier bei unserem Drucksystem T-H-H-T.
Mathematik ist die Sprache der Physik
| Amplituden | |
|---|---|
| T-H-H-T | z1(x,y) ≈ ±exp[−(x−a)2 − (y−a)2] |
| Maximum | z2(x,y) = −(x2 + y2) |
| Sattel | z3(x,y) = x2 − y2 |
| Affensattel | z4(x,y) = x3 − 3xy2 |
| Rosette | z5(x,y) = xy·(x2−y2) / (x2+y2) |
| Seestern | z6(x,y) = 5x4y − 10x2y3 + y5 |
| Oktopus | z7(x,y) = 8x7y−56x5y3+56x3y5−8xy7 |
| Wellen | z8(r) = sin(r)/r r = √(x2+y2) |
| Eierkarton | z9(x,y) = sin(x)·cos(x) |
| Lemniskate |
z10(x,y) = (x2 + y2)2 − 2a2(x2-y2)
Lemniskate von Bernoulli
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Flächen Übersicht
1) Wasserwellen de L'Hôpital
Die Funktion
f(r)= sin(r)/r
erinnert an eine Wasseroberfläche, die entsteht, wenn z.B. ein Stein ins Wasser geworfen wird. Die Wellen breiten sich vom Zentrum radial aus, wobei die Wellenhöhe mit zunehmendem Abstand
r = √(x²+y²)
abnimmt. Der Abstand entspricht dem Pythagoras, der aus den kartesischen Koordinaten x und y gebildet wird.
Berechnung des Funktionswerts am Ursprung
Wie lautet der Funktionswert f(0) am Ursprung?
Der Grenzübergang r→0 existiert wegen des Nenners nicht. Bei Situationen wie 0/0 oder ∞/∞ können Nenner und Zähler getrennt voneinander differenziert werden. Dies ist der Satz von de L'Hôpital. Der Grenzübergang r→0 ergibt somit genau 1.
In der französischen Sprache verschwand das "s" in "Hospital". Stattdessen bekam das "o" ein Zirkumflex (Accent circonflexe):
la règle de L'Hôpital
2) Lemniskate Hesse-Matrix
Die Lemniskate von Bernoulli
f(x,y)= (x²+y²)² − 2a²(x²−y²)
ist ein 2-dimensionales Polynom vom 4. Grad. Es weist drei kritische Punkte auf:
Lemniskate von Bernoulli für a = 3
Hesse-Matrix für die Lemniskate
Der Parameter a hat einen großen Einfluss auf die Gestalt der Lemniskate. Je größer a ist, desto tiefer ist die Fläche in der negativen Vertikalen, und desto weiter sind die beiden Minima voneinander entfernt.
www.harald-blazy.de/segelapps/
sattelpunkt.html
