Die Form einer Ellipse ist durch ihre beiden Halbachsen a und b definiert. Konstruiert wird die Ellipse über die beiden Brennpunkte F1 und F2. Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die die Summe der Strecken zu den Brennpunkten konstant ist:
PF1 + PF2 = 2a
In der Praxis würde man ein geschlossenes Seil um beide Brennpunkte legen. Dies ist die sogen. Gärtner-Konstruktion.
Die Exzentrizität e bzw. ε gibt an, wie stark die Ellipse von einem Kreis abweicht.
Die lineare Exzentrizität e ist der Abstand der Brennpunkte vom Ursprung. Über den Pythagoras steht sie mit den beiden Halbachsen a und b im Zusammenhang:
a2 = b2 + e2
Diese Formel kann nach e umgestellt werden:
e = √(a2−b2)
Eine Ellipse hat auf beiden Seiten je eine Leitlinie. Diese stehen senkrecht zur Hauptachse und befinden sich außerhalb der Ellipse. Das Verhältnis
PF / PD = ε
aus beiden Strecken Fokus-Punkt P und Punkt P-D ist konstant. Diese Konstante nennt man numerische Exzentrizität. Diese kann verschiedene Werte annehmen:
| ε | Kegelschnitte |
|---|---|
| 0 | Kreis |
| 0 < ε < 1 | Ellipse |
| 1 | Parabel |
| 1 < ε | Hyperbel |
Die Leitlinie heißt auch Direktrix. Ihre Position berechnet sich wie folgt:
xD = ±a/ε = ±a2/e
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Konstruktionen:
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| Grafik: |
cr.png
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Hintergrund | |
| Winkelφ = ° | ||
| Gärtner: |
LängeL
= PF1
+ PF2
= 2·a
L = + = |
| Direktrix: |
numerische Exzentrizität
ε = PF/PD = / = |
| gr. Halbachse a = cm | ||
| kl. Halbachse b = cm≤ a | ||
| a = Hauptachse:a ≥ b | ||
|
lineare Exzentrizität:
e = √(a2−b2) = cmFokus |
||
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numerische Exzentrizität:
ε = e/a = √(1−b2/a2) = ≤ 1 |
||
In der Astronomie werden z.B. die Planetenbahnen durch die einheitenlose numerische Exzentrizität ε charakterisiert. Dabei wird jedoch der lateinische Buchstabe e verwandt:
ε => e
Die lineare Exzentrizität e besitzt die Einheit einer Länge. Geometrisch ist e der Abstand x=±e der Foki vom Mittelpunkt. Genau das bedeutet Exzentrizität: aus dem Zentrum raus. Für einen Kreis gilt e=0.
Beide Exzentrizitäten müssen klar auseinander gehalten werden. Betrachtet man nur eine, muss die Definition zwingend angeführt werden, um Verwechselungen vorzubeuten.
Folien
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