Die Entwicklung der Linsenfernrohre und Spiegelteleskope hat immer wieder große Fortschritte und Verbesserungen hervorgebracht. Jedoch hat jede Bauweise Vor- und Nachteile. Im Folgenden werden ein paar optische Abbildungsfehler interaktiv veranschaulicht:
Die sphärische Aberration wird durch einen Paraboloid vollständig beseitigt:
1) Farbfehler Chromatische Aberration
Dispersion kommt aus dem Lateinischen und bedeutet Zerstreuung.
In der Optik beinhaltet Dispersion, dass eine Kenngröße von der Wellenlänge abhängt. Je kürzer die Wellenlänge, desto stärker werden die Lichtstrahlen von einem Prisma abgelenkt.
So ein ähnliches Phänomen kennen wird vom Sonnenuntergang. Die Blauanteile des Sonnenlichts werden in der Erdatmosphäre am stärksten abgelenkt. Den Betrachter erreichen somit hauptsächlich rote Lichtstrahlen - die Farbe des Sonnenuntergangs. Aus dem gleichen Grund erscheint der Himmel blau.
Das einfachste Objektiv besteht aus einer Sammellinse. Diese bricht das einfallende Licht, das sich im Fokus sammelt. Der Abstand zwischen Objektiv und Fokus ist die Brennweite f.
Weißes Licht setzt sich aus einem Farbspektrum zusammen, von Blau über Grün bis Rot. Blaues Licht hat eine kürzere Wellenlänge und wird stärker gebrochen als rotes Licht. Dies hat zur Folge, dass die Brennweite vom blauen Licht kürzer ist. Durch diesen Farblängsfehler ist das Bild unscharf. Ferner treten Farbsäume auf. Dies sind typische Schwächen von Linsenfernrohren (Refraktoren).
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farbfehler.png
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Hintergrund | |
| Bauart: |
| Wellenlänge λ: | ||
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Für das Farbspektrum benutzte ich die Formel von Dan Bruton. Dabei werden die Farbkomponenten kontinuierlich für verschiedene Intervalle von Wellenlängen berechnet.
Die vorangegangene Visualisierung ist rein schematisch. Der Weg der Lichtstrahlen in den Linsen entspricht einem Zick-Zack-Kurs. Das Ziel der Simulation ist jedoch das Verständnis des Farblängsfehlers.
Ein Achromat mindert die chromatische Aberration. Er besteht aus zwei Linsen mit unterschiedlichen Brechungsindizes.
Ein Apochromat korrigiert die Farbfehler für drei Wellenlängen. Dies wird durch drei verschiedenen Glassorten erreicht. Die Idee hierzu geht auf Ernst Abbe zurück.
Apochromaten sind jedoch sehr teuer. Möchte man z.B. den Mond fotografieren, kann man einen grünen Farbfilter vor das Okular schrauben. Das Bild wird dann als Schwarz-Weiß konvertiert. Durch die Monochromie ist auch der Kontrast größer.
2) Kugelfehler Sphärische Aberration
Die sphärische Aberration bedeutet einen Kugelgestaltsfehler und gehört zu den monochromatischen Aberrationen. Er tritt sowohl bei Refraktoren wie auch Reflektoren auf.
Achsenferne Lichtstrahlen weisen nach der Reflexion einen anderen Brennpunkt auf.
Mit einem parabolischen Spiegel lässt sich dieser Abbildungsfehler signifant verbessern. Jedoch ist so ein Spiegel schwieriger zu schleifen als ein kugelförmiger. Daher sind seine Herstellungskosten höher.
| Grafik: |
kugelfehler.png
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Hintergrund | |
| Distanz: | ||
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| Radius: | ||
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Die Kaustik entsteht, wenn Lichtstrahlen einmal reflektiert werden. Die Lichtstrahlen fungieren dabei als Tagenten. In der Optik heißt die Kaustik bei Spiegeln Katakaustik.
| Winkel φ: | ||
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In der Mathematik entspricht die Katakaustik der Nephroide. Ihre Parametrisierung lautet:
Diese Kurve mit φ ∈ [0,2π] entsteht, wenn ein Kreis mit dem Radius a auf einem größeren Kreis mit dem Radius 2a abrollt. Der Radius des sphärischen Spiegels beträgt folglich R = 2a+2a = 4a.
Korrektur Parabolischer Spiegel
Hat ein Spiegel eine Parabel
y(x) = a·x²
mit der Öffnung a als Querschnitt, so werden alle achsenparallelen Lichtstrahlen in einen gemeinsamen Fokus
F = 1/(4·a)
auf der optischen Achse gebündelt. Somit weist der Paraboloid keine sphärische Aberration auf. Im Backstage-Bereich Mathematik befindet sich eine Folie mit der Herleitung der obigen Fomel.
| Grafik: |
parabel.png
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Hintergrund | |
| Spiegel: |
| Distanz: | ||
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| Öffnung: | ||
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Die vorangegangene Visualisierung programmierte ich "mathematisch" und verzichtete auf die Anwendung der Formel für den Fokus einer Parabel. Dazu habe ich die Steigung
y′(x) = 2·a·x
am Spiegel berechnet, eine Tangente samt Senkrechte gezeichnet, und den einfallenden Lichtstrahl gemäß der Optik
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
gespiegelt. Nach Fertigstellung des Programms war es kein Aufwand mehr, den hyperbolischen Spiegel hinzuzufügen. Die klassische Definition einer Hyperbel
(x/a)² − (y/b)² = 1
muss lediglich um 45° gedreht werden:
x(y) = a√[(y/b)²+1]
Ein hyperbolischer Spiegel hat jedoch genauso wie ein sphärischer Spiegel keinen konstanten Fokus.
3) Punktlosigkeit Astigmatismus
Der Astigmatismus gehört zu den monochromatischen Aberrationen. Er tritt sowohl bei Refraktoren wie auch Reflektoren auf.
Zwei verschiedene Lichtebenen haben nach der Linse oder dem Spiegel unterschiedlich lange Brennweiten f1 und f2. Gleiches kann für seitlich einfallendes Licht auftreten. Das Bild ist kann nicht fokussiert werden. Bestensfalls erhält man eine Linie statt eines Punkts.
Der Astigmatismus stellt die Beugungsscheibchen als längliche Gebilde dar. Er kann durch Verformungen entstehen. Die Verspannung kann durch Lösen von Feststellschrauben erreicht werden.
| Grafik: |
astigmatismus.png
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Hintergrund | |
| Astigmatismus: |
| Astigmatismus: | ||
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Fällt das Licht seitlich ein, außerhalb der optischen Achse, so spricht man vom außeraxialen Astigmatismus.
| Transparenz: | ||
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| Radius: | ||
| Länge: | ||
| Strahl: | ||
| Horizontal: | ||
| Vertikal: | ||
Mathematik Geometrie
Parameter zur Visualisierung der Kaustik
Katakaustik eines sphärischen Hohlspiegels
Ein Parabolspiegel hat keine Kaustik.
Fokus und Direktrix einer Parabel
Programmieren Javascript
Für obige Drehungen im Raum verwenden wir aus der Mathematik die Vektorrechnung. In Javascript definieren wir daher den Konstruktor Vektor. Mit der Methode drehen können wir die erzeugten Vektoren im Raum drehen.
Wichtig dabei ist, dass die Objekte erst horizontal, und danach vertikal gedreht werden. Die Mulitplikation von Matrizen ist nicht kommutativ.
Als aller Erstes jedoch wird das Koordinatensystem festgelegt. Dabei muss die Rechte-Hand-Regel beachtet werden:
Bei obiger Definition ist dann klar, dass wir nur die yz-Ebene zeichnen lassen.
Wir definieren folgenden Konstruktor:
Erzeugung und Drehung eines Vektors:
Für beide Drehungen im Raum gibt es je einen Schieberegler SLIDER. Die ausgelesenen Winkel werden von Grad in Bogenmaß umgewandelt und der Methode drehen übergeben. Somit wird der Vektor ecke gedreht.
www.harald-blazy.de/
astro/abbildungsfehler.html
