e^i·φ = cos(φ)+i·sin(φ)

Eine komplexe Zahl z ∈ ℂ besteht aus einem Realteil (Re) und Imaginärteil (Im):

z = x + i·y

Somit kann eine komplexe Zahl als ein 2-dimensionaler Vektor aufgefasst werden:

ℂ ≙ ℝ×ℝ = ℝ²

Für die imaginäre Einheit i gilt: i² = −1

Betrachten wir den Einheitskreis mit dem Radius 1, so können wir schon gleich die Euler-Relation hinschreiben:

e^i·φ = cos(φ) + i·sin(φ)

Der Beweis erfolgt z. B. über die Taylor-Reihenentwicklung.

Das erste, was wir anhand des Zeigerdiagramms lernen, ist der mathematisch positive Drehsinn. Dieser ist entgegengesetzt des Uhrzeigersinns, also linksherum. Selbstverständlich ist dieser abhängig von den Definitionen des Koordinatensystems.

Eine komplexe Zahl lässt sich durch ein rechtwinkliges Dreieck darstellen. Im Einheitskreis hat die Hypothenuse die Länge 1. Für die beiden Katheten wenden wir den Satz des Pythagoras an:

cos(φ)² + sin(φ)² = 1

Obige Gleichung entspricht dem Betrag der Euler-Relation:

|e^i·φ| = e^i·φ·e^−i·φ = e⁰ = 1

Die Additionstheoreme

sin(α+β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β)
cos(α+β) = cos(α)·cos(β) − sin(α)·sin(β)

lassen sich durch die Forderung

e^i·(α+β) = e^i·α·e^i·β

ganz einfach beweisen. Dazu wendet man auf beiden Seiten die Euler-Relation an und vergleicht nach dem Ausmultiplizieren Real- und Imaginärteil:

Herleitung der Additionstheoreme

Da die komplexe Zahlenebene 2-dimensional ist, erhalten wir auch genau zwei Formeln. Ist dieser Zusammenhang nicht faszinierend?

Dank der Euler-Relation erhalten wir für die imaginäre Einheit i spektakuläre Relationen. Mit π = 180° ergibt sich:

e^i·π = −1

Und potenziert man e^i·π/2 = i mit i, erhalten wir:

iⁱ = e^−π/2 ≈ 0,208