Für jedes beliebiges Dreieck gilt:
Analog für a und b:
a² = b² + c² − 2·b·c·cos(α)
b² = a² + c² − 2·a·c·cos(β)
Rechtwinklige Dreiecke:
cos(γ) = cos(90°) = 0
=> a²+b² = c² Pythagoras
Wir fassen die Ecken A, B und C als Vektoren auf und denken uns einen Vektorpfeil über den Buchstaben:
| C² = | (A−B)² | |
| = | A²+B² − 2·A·B | |
| |C|² = | |A|²+|B|² − 2·|A|·|B|·cos(γ) | |
| q. e. d. |
| Grafik: |
kosinussatz.png
|
Hintergrund | |
| Winkel β =° | ||
| Seite c = cm | ||
| Schritte: | ||
Wie beginnen mit dem Zeichnen eines beliebigen Dreicks:
Als nächstes integrieren wir unser Dreieck in einen Kreis. Die Ecke B liegt im Mittelpunkt des Kreises, und die Ecke C auf dem Kreis.
Nun verlängern wir die Seite b, bis diese an den Kreis stößt.
Der Potenzsatz beinhaltet die Gleichheit zweier Produkte in einem Kreis. Dazu zeichnen wir zwei weitere Strecken:
Der Potenzsatz bzgl. des Punktes A besagt nun:
| ZA·AX | = b·AY | |
| (a+c)(a−c) | = b·(2·a·cosγ−b) | |
| a²−c² | = 2·a·b·cosγ − b² | |
| c² | = a²+b² − 2·a·b·cos(γ) | |
| Winkel: | Seiten: | |||
| α = | ° | a = | cm | |
| β = | ° | b = | cm | |
| γ = | ° | c = | cm | |
Für jedes beliebiges Dreieck gilt:
Beweis:
Durch Zeichnen der Höhe h wird das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt:
sin(β) = h/c
sin(γ) = h/b
=> h = c·sin(β) = b·sin(γ)
=> sin(β)/b = sin(γ)/c q.e.d
www.harald-blazy.de/
dreiecke/kosinussatz.html
