Cassini-Kurven

Die Cassini-Kurve ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, für die das Produkte aus den Abständen d_1,2 zu zwei Brennpunkten F_1,2=(±a,0) konstant ist:

|PF₁| · |PF₂| = c²

Aus der Gleichung

d₁·d₂ = c²

erhalten wir mit dem Satz von Pythagoras:

[(x−a)²+y²] · [(x+a)²+y²] = c²

Eine Umformung ergibt die Cassini-Gleichung:

(x²+y²)² − 2a²(x²−y²) = c⁴−a⁴

Damit erhalten wir die Cassini-Funktion

y(x) = ±√[ √(4a²x²+c⁴) − x² − a²]

Die Cassini-Gleichung in kartesischen Koordinaten

(x²+y²)² − 2a²(x²−y²) = c⁴−a⁴

lässt sich durch die Polarkoordinaten

x(r,φ) = r·cos(φ)
y(r,φ) = r·sin(φ)

in folgende Form überführen:

r⁴ − 2a²cos(2φ)·r² − (c² − a²) = 0

Mit dem Satz von Vieta erhalten wir:

r² = a² cos(2φ)
± √[a⁴cos²(2φ) + (c⁴−a⁴)]

Dadurch wird der Abstand r(φ) vom Mittelpunkt des Koordinatensystems zum Punkt P berechnet, in Abhängigkeit des Winkels φ.

Für y=0 erhalten wir:

x⁴ − 2a²x² − (c⁴−a⁴) = 0

Mit dem Satz von Vieta folgt:

x_1,2² = a² ± √[a⁴ + (c⁴−a⁴)]

Für die Nullstellen folgt also:

x₁ = ±√(a²+c²) für alle a,c ∈ ℝ
x₂ = ±√(a²−c²) für a>c

Für a>c gibt es also 4 Nullstellen. In diesem Fall zerfällt die geschlossene Cassini-Kurve in:

zwei einzelne Kurven

Für x=0 erhalten wir:

y⁴ + 2a²y² − (c⁴−a⁴) = 0

Mit dem Satz von Vieta folgt:

y_1,2² = −a² ± √[a⁴ + (c⁴−a⁴)]

Für die Schnittstellen folgt also:

y₁ = ±√(−a²+c²) falls c>a
y₂ = ±√(−a²−c²) keine Lösung

Für c>a schneidet die Cassini-Kurve die y-Achse zweimal:

zwei Schnittpunkte

Für c=a gibt es nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse, und das im Ursprung.

Für die Parameter a=1 und c=1 erhält man die Lemniskate von Bernoulli.

Lemniskate bedeutet Schleife. Im Ursprung schneidet sie sich senkrecht, also in einem Winkel von 90°.

Cassini war ein italienischer Astronom und Mathematiker. Im orange ein paar seiner Entdeckungen. Die Cassini-Teilung ist wohl am bekanntesten.