Ein Galtonbrett besteht aus einem senkrechten Nagelbrett, unter dem sich einzelne Becher befinden. Oben werden Kugeln eingeworfen. Bei jedem Nagel kann der Ball entweder nach rechts oder nach links fallen. Nach einer bestimmten Anzahl von Ebenen fallen die Kugeln in einen Becher.
Was für eine Kurve ergibt sich nach einigen Durchgängen?
Die Mathematik ist bekannt. Letztendlich dient das ein Experiment hier zur Überprüfung des Zufallsgenerators Math.random() von Javascript.
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gauss.png
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Die Gauß-Verteilung ist die häufigste Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Verteilung von Werten ist symmetrisch um den Mittelwert μ herum.
Folgende Fachbegriffe bezeichnen das gleiche:
Die Gauß-Verteilung f(x) wird hier bei jedem Experiment neu berechnet und den Parametern entsprechend gezeichnet. Es handelt sich hierbei um eine kontinuierliche Kurve. Die Binomial-Verteilung hingegen ist diskret. Die Koeffizienten sind wohldefiniert und ändern sich beim neuen Experiment nicht.
| Glockenkurve f(x) | |
|---|---|
| Kugel-Anzahl N | |
| i∈[..,−1,0,+1,..]: Σ i·Ni | |
| Mittelwert μ | |
| Varianz σ² | |
| Standardabweichung σ | |
| FWHM | |
f(x) = 1/(σ√2π) · exp[−½(x−μ)2/σ2]
Die Fläche unter der Kurve entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit: ∫f(x)dx = 1
Für ein ideales Galtonbrett sind die Wahrscheinlichkeiten für links und rechts gleich, d.h. es gilt p=q=½. Somit lautet die Wahrscheinlichkeit P, dass der k-te Becher von n Stück getroffen wird:
| Pn(k) | = (n,k) · pk (1-p)n-k |
| = (n,k) · ½k ½n-k | |
| = (n,k) · ½n |
Pn(k) = n!/k!/(n-k)! / 2n
1) Gaußverteilung Analyse
Formeln zur Gaußverteilung
Formeln zur Wahrscheinlichkeitsdichte f(x), Varianz σ² und Standardabweichung σ. Das Integral über die gesamte reelle Achse ist 1. Dies entspricht natürlich der Gesamtwahrscheinlichkeit.
| Synonyme | Englisch |
|---|---|
| Gauß-Verteilung | Gaussian distribution |
| Normalverteilung | normal distribution |
| Glockenkurve | bell curve |
Gauß-Kurven für verschiedene σ
Die Form der Gauß-Kurve hängt von der Standardabweichung σ ab. Ist σ klein, so ist die Kurve hoch und schmal. Für ein großes σ erhält man hingegen eine flache und breite Kurve. Dies liegt daran, dass die Fläche unter der Kurve der Gesamtwahrscheinlichkeit 1 entspricht, also konstant ist.
Zwei Verteilungen im Vergleich
Die Gaußverteilung ist kontinuierlich, d.h. sie ist glatt gezogen. Zu jedem x∈ℝ gibt es einen anderen Funktionswert f(x). Die Binomialverteilung hingegen ist diskret und bezieht sich auf einzelne Intervalle. Sie passt zu dem Galtonbrett, wo die Kugeln in einen Becher fallen.
2) Binomialverteilung Blaise Pascal
| n | Pascalsches Dreieck | / 2n | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | / 1 | ||||||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | / 2 | |||||||||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | / 4 | ||||||||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | / 8 | |||||||||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | / 16 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | / 32 | |||||||||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | / 64 | ||||||||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | / 128 | |||||||||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | / 256 | ||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||||||
| k-te Spalte der Ebene n=8 | ||||||||||||||||||
Die obige Tabelle präsentiert die Binomialkoeffizienten
B(n,k) = n!/k!/(n-k)!
für die Binomialverteilung mit den Wahrscheinlichkeiten p=q=½. Betrachten wir beispielsweise die orangefarbene Zahl 35. Sie befindet sich in der Ebene n=7 in der 3. Spalte:
B(7,3) = 7!/3!/4! = 7·6·5 / (3·2·1) = 35
Die Wahrscheinlichkeiten erhält man, in dem die Koeffizienten durch die Potenz 2n geteilt wird. Die gesamte Wahrscheinlichkeit in einer Spalte ist 1. Betrachten wir die Ebene n=4:
(1+4+6+4+1)/24 = 16/16 = 1
Eine Zahl im Dreieck ist die Summe der beiden oberen. Betrachten wir dazu die grüne Zahl 10:
10 = 6+4
Mit dem Pascalschen Dreieck können wir sofort folgende Potenzen berechnen:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
(x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Usw.
Satz von Moivre-Laplace
Der Satz von Moivre-Laplace besagt, dass die diskrete Binomial-Verteilung BV für eine große Anzahl N gegen die kontinuierliche Gauß-Verteilung GV konvergiert:
| Frz. Mathematiker | |
|---|---|
| 1667–1754 |
Abraham de Moivre
1730: Beweis für p=½
|
| 1749–1827 |
Pierre-Simon Laplace
1812: allg. Beweis
|
Backstage Programmierung
Als Motivation zum Nachmachen folgt hier wieder ein kleiner Einschub zur Programmierung. Die Fakultät n! beschreibt folgendes Produkt:
n! = n·(n−1)·(n−2)·...·1
Eine direkte Umsetzung dieser Definition führt zu folgender Iteration:
Ist die Zahl n≤1, wird 1 zurückgegeben. Obiges entspricht dem Quellcode in der Programmiersprache Javascript. In der Anwendung erhält man beispielsweise:
fakultaet(4) = 24
Denn es gilt:
4! = 4·3·2·1 = 12·2 = 24
Eleganter ist die Definition über die Rekursion. Dabei wird die Aufgabe für n auf das untergeordnete Problem n−1 verlagert:
Ist die Zahl n≤1, wird 1 zurückgegeben. Ansonsten wird die Fakultät für n−1 aufgerufen.
Mit der Vorüberlegung zur rekursiven Definition der Fakultät lässt sich die Funktion B(n,k) ganz schnell hinschreiben:
www.harald-blazy.de/
mathe/gauss-verteilung.html
