Die Cassini-Kurve ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, für die das Produkt aus den Abständen d1,2 zu zwei Brennpunkten F1,2=(±a,0) konstant ist:
|PF1| · |PF2| = c2
Aus der Gleichung
d1·d2 = c2
erhalten wir mit dem Satz von Pythagoras:
[(x−a)2+y2] · [(x+a)2+y2] = c2
Eine Umformung ergibt die Cassini-Gleichung:
(x2+y2)2 − 2a2(x2−y2) = c4−a4
Damit erhalten wir die Cassini-Funktion
y1,2(x) = ±√[ √(4a2x2+c4) − x2 − a2]
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Zeichnen
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Text
Beschriftung
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| Grafik: |
cassini.png
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Hintergrund | |
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d1 = |
d1·d2 | = |
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d2 = |
c2 | = |
| φ = links herum | ||
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| c = | ||
| a = | ||
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| Dichte:Δφ = | ||
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| φ0 = | ||
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| Einheit = px | ||
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Für y=0 erhalten wir:
x4 − 2a2x2 − (c4−a4) = 0
Mit dem Satz von Vieta folgt:
x1,22 = a2 ± √[a4 + (c4−a4)]
Für die Nullstellen folgt also:
x1,2 = ±√(a2+c2) für alle a,c ∈ ℝ
x3,4 = ±√(a2−c2) für a>c
Für a>c gibt es also 4 Nullstellen. In diesem Fall zerfällt die geschlossene Cassini-Kurve in:
zwei einzelne Kurven
Für x=0 erhalten wir:
y4 + 2a2y2 − (c4−a4) = 0
Mit dem Satz von Vieta folgt:
y1,22 = −a2 ± √[a4 + (c4−a4)]
Für die Schnittstellen folgt also:
y1,2 = ±√(−a2+c2) falls c>a
y3,4 = ±√(−a2−c2) keine Lösung
Für c>a schneidet die Cassini-Kurve die y-Achse zweimal:
zwei Schnittpunkte
Für c=a gibt es nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse, und das im Ursprung.
Für die Parameter a=1 und c=1 erhält man die Lemniskate von Bernoulli.
Lemniskate bedeutet Schleife. Im Ursprung schneidet sie sich senkrecht, also in einem Winkel von 90°.
Orthogonaltrajektorien schneiden eine gegebene Kurvenschar in jedem Punkt senkrecht, also in einem Winkel von 90°. Bzgl. den Cassini-Kurven genügen sie der Gleichung
y2 + λx·y + (a−x2) = 0
Mit dem Satz von Vieta erhalten wir:
y1,2 = −λx/2 ± √[(λx/2)2−(a−x2)]
Die Hyperbeln scheiden die x-Achse bei ±a. Die y-Achse hingegen wird nicht geschnitten.
Cassinische Kurven Übersicht
Herleitung der Cassini-Gleichung
Die Konstruktion der Cassini-Kurven ist ganz einfach: Es ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, für die das Produkte aus den Abständen d1,2 zu zwei Brennpunkten F1,2=(±a,0) konstant ist.
Cassini-Kurven in der Großansicht
Charakterisierung anhand von Nullstellen
Faszinierend: Die Cassinischen Kurven werden anhand der Anzahl ihrer Nullstellen charakterisiert. Diese hängt von den beiden Parametern a und c ab:
| Nullstellen | Character | |
|---|---|---|
| c > a | 2 Nullstellen | geschlossene Kurven |
| c = a | 3 Nullstellen | Lemniskatec=1, a=1 |
| c < a | 4 Nullstellen | 2 Kurven |
Für a > c zerfällt eine geschlossene Cassini-Kurve in zwei Ovale.
Senkrechte Kurvenscharen
Die Cassini-Kurven werden von Hyperbeln in jedem Punkt senkrecht geschnitten. Diese Hyperbeln schneiden die x-Achse bei (±1,0).
Parametrisierung Formeln
Die Cassini-Gleichung in kartesischen Koordinaten
(x2+y2)2 − 2a2(x2−y2) = c4−a4
lässt sich durch die Polarkoordinaten
x(r,φ) = r·cos(φ)
y(r,φ) = r·sin(φ)
in folgende Form überführen:
r4 − 2a2cos(2φ)·r2 − (c2 − a2) = 0
Mit dem Satz von Vieta erhalten wir:
r2
= a2 cos(2φ)
± √[a4cos2(2φ) + (c4−a4)]
Dadurch wird der Abstand r(φ) vom Mittelpunkt des Koordinatensystems zum Punkt P berechnet, in Abhängigkeit des Winkels φ.
x und y in Abhängigkeit eines Parameters
Der mathematisch positive Drehsinn ist entgegen des Urzeigersinns links herum.
Während ich für die Cassini-Kurven die kartesischen Koordinaten y(x) verwandt habe, auch wegen des anschaulichen Beweises der Richtigkeit, nutze ich für den Punkt die parametrisierte Darstellung.
Orthogonaltrajektorien für φ0
Nach der Parametrisierung der Cassini-Kurven betrachten wir noch die Polarkoordinaten der Orthogonaltrajektorien. Die Orthogonalen sind in jedem Punkt senkrecht zu der Cassini-Kurvenschar.
Kurvenschar für a
Bisher haben wir Kurvenscharen für den Parameter c analysiert. Variieren wir hingegen a, erhalten wir ein anderes Bild:
Kurvenschar für a
Die rote Kurve ist die Lemniskate mit den Parametern a=c=2.
Für a=c=1 haben wir die Lemniskate. Für a<1 konvergiert die Kurve gegen den Kreis, für a>1 ergeben sich 2 Kurven:
Fallunterscheidungen
Im ersten Fall a<1 weist die Cassini-Kurve vier Nullstellen auf. Die beiden Ovale wandern mit abnehmendem a nach außen.
Flächen im ℝ³ Hesse-Matrix
Den obigen Cassini-Kurven kann eine dritte Dimension zugeordnet werden. Dabei werden aus den beiden Brennpunkten F1 und F2 zwei Minima. Der Ursprung hingegen wird zu einem Sattelpunkt. Die beiden folgenden Bilder visualisieren die Lemniskate von Bernoulli zu verschiedenen Parametern.
Die Hesse-Matrix untersucht, ob eine Fläche im ℝ³ an einem bestimmten Punkt ein Maximum, ein Minimum oder einen Sattelpunkt aufweist. Auf der genannten Webseite ist die Fläche im Raum drehbar. Diese Visualisierung ermöglicht die genaue Betrachtung der Extrema. Dabei kann interaktiv der Parameter a variiert werden.
Parameter a=3: Brennpunkte bei (±3,0)
Die rote Fläche liegt über Null (z>0), die blaue Fläche hingegen im negativen Bereich (z<0).
Parameter a=3
Bei zunehmenden a entfernen sich die beiden Brennpunkte voneinander und wandern nach unten.
Giovanni Cassini Geschichte
Cassini war ein italienischer Astronom und Mathematiker. Im fetter Schrift ein paar seiner Entdeckungen.
| Giovanni Domenico Cassini | |
|---|---|
| *1625 | Perinaldo (Nizza, Savoyen) |
| 1664 |
Eigendrehung von Jupiter
anhand des GRF
|
| 1669 | Académie Royale des Sciences |
| 1671 1672 |
Iapetus Ø 1468 km Rhea Ø 1527 km |
| 1673 |
frz. Staatsbürgerschaft
Jean-Dominic Cassini
|
| 1675 |
Cassini-Teilung
Lücke im Saturn-Ring (zw. A und b)
|
| 1680 |
Ablehnung der Kepler-Bahnen
=> Cassini-Kurven statt Ellipsen |
| 1684 |
Dione Ø 1123 km Tethys Ø 1062 km |
| †1712 | Paris |
1) GRF = Großer Roter Fleck (Jupiter)
2) In Magenta die Saturn-Monde.
Lücke zwischen Ring A und B
1675 entdeckte Cassini, dass der Saturnring eine Lücke besitzt. Diese Lücke hat eine Breite von ca. 4.800 km. Sie wird als Cassini-Teilung bezeichnet.
Diese Feststellung ist zusammen mit der Entdeckung von vier Saturn-Monden die bekanntesten Leistungen von Giovanni Domenico Cassini.
1667 gegründet von Ludwig XIV:
| Direktoren "Cassini" | ||
|---|---|---|
| 1671–1712 | Giovanni Domenico | Cassini I |
| 1712–1756 | Jacques | Cassini II |
| 1756–1784 | César-François Cassini de Thury |
Cassini III |
| 1784–1793 |
Jean-Dominique Comte de Cassini 1793 Rücktritt
|
Cassini IV |
Observatoire de Paris:
Die Familie Cassini stellte über vier Generationen den Direktor.
Nach dem Tod des Vaters rückte der Sohn nach.
Während der Französischen Revolution 1789 herrschten Unruhen. Nach Auseinandersetzungen mit der Nationalversammlung trat Cassini IV 1793 zurück.
Backstage Location
Schutz vor einem Platzregen
Auf dem Hof eines Bauernhofes zu programmieren ist schon ein besonderes Erlebnis. Als ein Platzregen seine Aufführung hatte, wurde es gänzlich romantisch. So zog ich mich auf zwei Stühlen in die hintere Ecke einer scheunenhaften Überdachung.
www.harald-blazy.de/
mathe/cassini-kurven.html
