Die Cassini-Kurve ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, für die das Produkte aus den Abständen d1,2 zu zwei Brennpunkten F1,2=(±a,0) konstant ist:
|PF1| · |PF2| = c2
Aus der Gleichung
d1·d2 = c2
erhalten wir mit dem Satz von Pythagoras:
[(x−a)2+y2] · [(x+a)2+y2] = c2
Eine Umformung ergibt die Cassini-Gleichung:
(x2+y2)2 − 2a2(x2−y2) = c4−a4
Damit erhalten wir die Cassini-Funktion
y1,2(x) = ±√[ √(4a2x2+c4) − x2 − a2]
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Zeichnen
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Beschriftung
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| Grafik: |
cassini.png
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Hintergrund | |
| Wähle: |
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d1 = |
d1·d2 | = |
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d2 = |
c2 | = |
| φ = links herum | ||
| c = | ||
| a = | ||
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| Einheit = px | ||
Für y=0 erhalten wir:
x4 − 2a2x2 − (c4−a4) = 0
Mit dem Satz von Vieta folgt:
x1,22 = a2 ± √[a4 + (c4−a4)]
Für die Nullstellen folgt also:
x1,2 = ±√(a2+c2) für alle a,c ∈ ℝ
x3,4 = ±√(a2−c2) für a>c
Für a>c gibt es also 4 Nullstellen. In diesem Fall zerfällt die geschlossene Cassini-Kurve in:
zwei einzelne Kurven
Für x=0 erhalten wir:
y4 + 2a2y2 − (c4−a4) = 0
Mit dem Satz von Vieta folgt:
y1,22 = −a2 ± √[a4 + (c4−a4)]
Für die Schnittstellen folgt also:
y1,2 = ±√(−a2+c2) falls c>a
y3,4 = ±√(−a2−c2) keine Lösung
Für c>a schneidet die Cassini-Kurve die y-Achse zweimal:
zwei Schnittpunkte
Für c=a gibt es nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse, und das im Ursprung.
Für die Parameter a=1 und c=1 erhält man die Lemniskate von Bernoulli.
Lemniskate bedeutet Schleife. Im Ursprung schneidet sie sich senkrecht, also in einem Winkel von 90°.
Orthogonaltrajektorien schneiden eine gegebene Kurvenschar in jedem Punkt senkrecht, also in einem Winkel von 90°. Bzgl. den Cassini-Kurven genügen sie der Gleichung
y2 + λx·y + (1−x2) = 0
Mit dem Satz von Vieta erhalten wir:
y1,2 = −λx/2 ± √[(λx/2)2−(1−x2)]
Die Hyperbeln scheiden die x-Achse bei ±1. Die y-Achse hingegen wird nicht geschnitten.
Cassini war ein italienischer Astronom und Mathematiker. Im orange ein paar seiner Entdeckungen. Die Cassini-Teilung ist wohl am bekanntesten.
| Giovanni Domenico Cassini | |
|---|---|
| *1625 | Perinaldo (Nizza, Savoyen) |
| 1664 |
Eigendrehung von Jupiter
anhand des GRF
|
| 1669 | Académie Royale des Sciences |
| 1671 1672 |
Iapetus Rhea Saturn-Monde |
| 1673 |
frz. Staatsbürgerschaft
Jean-Dominic Cassini
|
| 1675 |
Cassini-Teilung
Lücke im Saturn-Ring (zw. A und b)
|
| 1680 |
Ablehnung der Kepler-Bahnen
=> Cassini-Kurven statt Ellipsen |
| 1684 |
Dione Tethys Saturn-Monde |
| †1712 | Paris |
Cassinische Kurven Übersicht
Herleitung der Cassini-Gleichung
Die Konstruktion der Cassini-Kurven ist ganz einfach: Es ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, für die das Produkte aus den Abständen d1,2 zu zwei Brennpunkten F1,2=(±a,0) konstant ist.
Charakterisierung anhand von Nullstellen
Faszinierend: Die Cassinischen Kurven werden anhand der Anzahl ihrer Nullstellen charakterisiert. Diese hängt von den beiden Parametern a und c ab:
| Nullstellen | Character | |
|---|---|---|
| c > a | 2 Nullstellen | geschlossene Kurven |
| c = a | 3 Nullstellen | Lemniskatec=1, a=1 |
| c < a | 4 Nullstellen | 2 Kurven |
Für a > c zerfällt eine geschlossene Cassini-Kurve in zwei Ovale.
Senkrechte Kurvenscharen
Die Cassini-Kurven werden von Hyperbeln in jedem Punkt senkrecht geschnitten. Diese Hyperbeln schneiden die x-Achse bei (±1,0).
Parametrisierung Formeln
x und y in Abhängigkeit eines Parameters
Der mathematisch positive Drehsinn ist entgegen des Urzeigersinns links herum.
Während ich für die Cassini-Kurven die kartesischen Koordinaten y(x) verwandt habe, auch wegen des anschaulichen Beweises der Richtigkeit, nutze ich für den Punkt die parametrisierte Darstellung.
Die Cassini-Gleichung in kartesischen Koordinaten
(x2+y2)2 − 2a2(x2−y2) = c4−a4
lässt sich durch die Polarkoordinaten
x(r,φ) = r·cos(φ)
y(r,φ) = r·sin(φ)
in folgende Form überführen:
r4 − 2a2cos(2φ)·r2 − (c2 − a2) = 0
Mit dem Satz von Vieta erhalten wir:
r2
= a2 cos(2φ)
± √[a4cos2(2φ) + (c4−a4)]
Dadurch wird der Abstand r(φ) vom Mittelpunkt des Koordinatensystems zum Punkt P berechnet, in Abhängigkeit des Winkels φ.
Backstage Location
Schutz vor einem Platzregen
Auf dem Hof eines Bauernhofes zu programmieren ist schon ein besonderes Erlebnis. Als ein Platzregen seine Aufführung hatte, wurde es gänzlich romantisch. So zog ich mich auf zwei Stühlen in die hintere Ecke einer scheunenhaften Überdachung.
www.harald-blazy.de/
mathe/cassini-kurven.html
