Nach dem ℝ1 und ℝ2 betrachten wir hier nun den ℝ4. Aber warum überspringen wir den ℝ3? Zunächst beantworten wir diese Frage, bevor wir anschließend in medias res gehen.
Zur Begrifflichkeit: Hyperkomplexe Zahlen sind die Verallgemeinerung der komplexen Zahlen.
ℝ3 Idee von Hamilton
Wir definieren
z = a + ib + jc
mit i² = j² = −1.
Wir berechnen den Betrag:
| |z|² | = z·z* |
| = (a+ib+jc)·(a−ib−jc) | |
| = a²+b²+c² − bc·(ij+ji) |
Um die Analogie zur komplexen Zahlen zu erhalten, muss der letzte Term wegfallen, d.h. die Klammer muss Null ergeben. Eine Möglichkeit wäre, dass jeder Summand für sich Null ergibt:
i·j = 0 |·j
i·j·j = 0·j
−i = 0 Widerspruch
(ij+ji) = 0
Wie wird die Klammer Null? Unser zweiter Versuch besteht darin, dass jeder Summand eine Zahl ergibt:
|
i·j = a |·i −j = a·i j = −a·i |
j·i = −a |·j −i = −a·j i = a·j |
Fassen wir beide Ausdrücke zusammen folgt:
j = −a·(aj)
j = −a²j |·j
−1 = −a²(−1)
1 = −a² Widerspruch
a ∈ ℝ
Wir haben folgendes Problem:
z·z* = a²+b²+c² − bc·(ij+ji)
Lösungsansatz:
| i·j = k | j·i = −k |
|
i·j = k | ·k ijk = −1 |
j·i = −k | j· −i = −jk | i· 1 = −ijk ijk = −1 |
Somit erhalten wir drei Bedingungen:
i·j = +k
j·i = −k
i·j·k = −1
Die geniale Idee von William Rowan Hamilton lag nun darin, nach i und j eine dritte komplexe Einheit k zu fordern mit k²=−1.
Definition Quaternionen
Aufgrund der vorangegangenen Überlegungen definieren wir ein Quaternion z∈ℍ
z = a + i·b + j·c + k·d
mit a, b, c, d ∈ ℝ
und mit den komplexen Einheiten:
i² = j² = k² = i·j·k = −1
Es gelten die zyklischen Vertauschungen:
i·j·k = −1
j·k·i = −1
k·i·j = −1
| i | j | k | |
|---|---|---|---|
| i | −1 | k | −j |
| j | −k | −1 | i |
| k | j | −i | −1 |
Obige Matrix erhält man, in dem alle Kombinationen untersucht werden, wie z. B.:
i·j·k = −1 | ·k
−i·j = −k
i·j = k
Wir führen eine neue Schreibweise ein:
u = u0 + u1i + u2j + u3k = ( u0, u)
u* = u0 − u1i − u2j − u3k = ( u0, −u)
u0 = Skalar
u = Vektor
u* = konjugiertes Quaternion
|u| = √(Σui2) = Betrag
|u| = 1 = Einheitsquaternion
Inverses Quaternion:
u−1 = u*/|u|2
Beweis: u·u−1 = u·u*/|u|2 = 1 q.e.d.
Produkte reine Quaternionen
| u·v = | (u0+u1i+u2j+u3k) · (v0+v1i+v2j+v3k) |
| = |
u0v0 −
u1v1 −
u2v2 −
u3v3
+(u0v1+u1v0+u2v3−u3v2)·i +(u0v2−u1v3+u2v0+u3v1)·j +(u0v3+u1v2−u2v1+u3v0)·k |
| = | u0v0 − u·v + u0v + v0u + u×v |
| = | (u0v0 − u·v, u0v + v0u + u×v) |
Für das Produkt zweier Quaternionen u und v erhalten wir also:
u·v = (u0v0−u·v , u0v + v0u + u×v)
Anmerkung zu Vektoren:
u und v sind zwei Vektoren.
Zwischen ihnen gibt es zwei Produkte:
1) Skalarprodukt: u·v = Skalar ∈ ℝ
2) Kreuzprodukt: u×v = Vektor ∈ ℝ³
Anmerkung zu Quaternionen:
u = (u0, u) ist ein Quaternion.
Quaternion: u = (u0, u)
Ist der Skalarteil u0=0,
so erhält man ein reines Quaternion:
u = (0, u)
Für reine Quaternionen gilt:
u·v = (−u·v, u×v)
v·u = (−u·v, −u×v)
uv+vu = ( −2u·v, 0) = −2u·v
u·v = −½(uv+vu)
uv−vu = ( 0, 2u×v) = 2u×v
u×v = ½(uv−vu)
Für ein reines Quaternion u=0+u mit
u2=−|u|2
u3=−|u|2u
gilt die Taylor-Reihe für die Exponentialfunktion:
| eu = | 1 + u + 1/2!·u2 + 1/3!·u3 + ... |
| = |
+ 1/0!·|u|0
+ 1/1!·|u|0u
− 1/2!·|u|2 − 1/3!·|u|2u + 1/4!·|u|4 + 1/5!·|u|4u − 1/6!·|u|6 − 1/7!·|u|6u ± ... |
Mit den Tayler-Reihen für Cosinus und Sinus erhalten wir die Euler-Relation für reine Quaternionen:
e(0,u) = cos(|u|) + u/|u|·sin(|u|)
Erinnerung: Die komplexen Einheiten i, j und k stecken im Vektor
u = 0 + i·b + j·c + k·d
mit b,c,d∈ℝ.
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