Im folgenden betrachten wir verschiedene Schnitte durch einen Kegel. Die Polargleichung für diese Kegelschnitte berechnet den Abstand r vom Brennpunkt in Abhängigkeit des Winkels φ:
r(φ) = p / (1−ε·cos(φ))
Dabei liegt der Brennpunkt im Urpsrung des Koordinatensystems. Der Parameter p ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Direktrix. Die numerische Exzentrizität ε charakterisiert die Schnittkurve:
| ε | Kegelschnitte | |
|---|---|---|
| 0 | Kreis | Spezialfall |
| 0 < ε < 1 | Ellipse | geschlossen |
| 1 | Parabel | offen |
| 1 < ε | Hyperbel | zwei Äste |
Obige Polargleichung r(φ) geht
auf Leonhard Euler zurück.
Neben der Polargleichung gibt es noch die Kegelschnittgleichung. Deren Scheitelform lautet:
y2 = 2·p·x − (1−ε2)·x2
Dabei ist ε die einheitenlose numerische Exzentrizität.
| Grafik: |
cr.png
|
Hintergrund | |
| ε = | ||
| Parameter p = | ||
| Winkel φ = ° | ||
Kegelschnitte Übersicht
Für einen Kreis ist die numerische Exzentrizität ε=0. Für die Kegelschnittgleichung erhalten wir
y2 = 2·r·x − x2
wobei p=r der Radius des Kreises ist. Diese Gleichung beschreibt einen Kreis, der auf der x-Achse um seinen Radius r nach rechts verschoben ist:
(x−r)2 + y2 = r2
Beweis:
x2 − 2·r·x + r2 + y2 = r2
x2 − 2·r·x + y2 = 0
y2 = 2·r·x − x2
x2/a2 + y2/b2 = 1
Für eine Parabel ist die numerische Exzentrizität ε=1. Für die Kegelschnittgleichung erhalten wir:
y2 = 2·p·x
Die Parabel liegt in der Ebene, die parallel zur Mantellinie des Kegels ist.
Fokus: x = p/2
Direktrix: x = −p/2
x2/a2 − y2/b2 = 1
Schnittebenen durch einen Kegel
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